分离变量法（Separation of Variables）的常见疑问

主要适用对象

Edexcel P4考生

AQA P2考生

CIE P3考生

分离变量法

利用分离变量法求解形如$\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)g(y)$的一阶微分方程（First-Order Differential Equation）是三大考试局的必考知识点. 方法的基本步骤为：

分离变量：

$$ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)g(y) \Rightarrow \frac{1}{g(y)}\text{d}y=f(x)\text{d}x. $$
两边同时积分：

$$ \frac{1}{g(y)}\text{d}y=f(x)\text{d}x \Rightarrow \int \frac{1}{g(y)}\text{d}y=\int f(x)\text{d}x. $$
计算积分，并在其中一侧加上任意常数项：

$$ \int \frac{1}{g(y)}\text{d}y=\int f(x)\text{d}x \Rightarrow G(y)=F(x)+C. $$
根据题目要求改写微分方程的通解（General Solution），或根据边界条件（Boundary Condition，也可理解为初始条件）计算微分方程的特解（Particular Solution）.

常见疑问

尽管只要熟练掌握分离变量法的基本步骤以及积分计算，解此类微分方程都比较容易. 但教材在介绍分离变量法时会省略较多的步骤，在教学或学习过程中，总会遇到诸多疑问，现整理如下.

为什么分离变量后，可以两边关于不同的变量同时积分

事实上，分离变量后两边同时积分的步骤只是方便书写，更完整的步骤应为：

$$ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)g(y) \Rightarrow \frac{1}{g(y)}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x). $$

等式两边同时关于变量$x$积分：

$$ \frac{1}{g(y)}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x) \Rightarrow \int \frac{1}{g(y)}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x=\int f(x)\text{d}x $$

化简后即为：

$$ \int \frac{1}{g(y)}\text{d}y=\int f(x)\text{d}x. $$

为什么计算积分后，不需要在两侧都加上任意常数项

因为任意常数加减任意常数依然得到一个任意常数.

$$ \int \frac{1}{g(y)}\text{d}y=\int f(x)\text{d}x \Rightarrow G(y)+C_1=F(x)+C_2 \Rightarrow G(y)=F(x)+(C_2-C_1) $$

其中$C_1$和$C_2$是任意常数. $C_2-C_1$依然是任意常数，可以用任意常数$C$来表示.

为什么可以去掉$\ln|x|$中的绝对值符号

三大考试局官方教材的例题中都有涉及关于$\displaystyle \int \frac{1}{x}\text{d}x$的计算，需要注意的是最后通解中的绝对值符号并不是想去就可以去掉的.

最简单的一类情况就是，题目给出了变量的取值范围，因此可以直接去掉，比如：当$y>0$时，解微分方程

$$ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=xy. $$

稍显复杂的情况，我们将在下例讨论.

为什么分离变量时，不需要讨论$g(y)=0$的情形

严格说来，在使用分离变量法时是需要讨论的，但在爱德思（Edexcel）和AQA的教材例题中却未曾提及. 考生不必过于担心，如果题目最终要求计算特解，则基本不需要考虑$g(y)=0$的情形；如果题目只是要求计算通解，我们可以通过快速计算，整合通解.

现以爱德思教材的例题，同时分析：（1）为什么可以去掉绝对值符号；（2）讨论$g(y)=0$后，通解会发生什么变化.

Example.

Find a general solution to the differential equation $\displaystyle (1+x^2)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=x\tan y$.

Solution.

The differential equation becomes

$$ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{x}{1+x^2}\tan y. $$

If $\tan y \neq 0$:

$$ \int \frac{1}{\tan y}\text{d}y=\int \frac{x}{1+x^2}\text{d}x. $$ Then we have:

$$ \begin{aligned} \ln|\sin y| &= \frac{1}{2}\ln|1+x^2|+C_1 \\ \ln|\sin y| &= \frac{1}{2}\ln|1+x^2|+\ln C_2 \ \ (\text{注：$C_2>0$且$\ln C_2$可表示任意常数}) \\ \ln|\sin y| &= \ln|C_2\sqrt{1+x^2}|\ \ (\text{注：$C_2>0$)} \\ \sin y &= \pm C_2\sqrt{1+x^2}\ \ (\text{注：$C_2>0$)} \\ \sin y &= C_3\sqrt{1+x^2}\ \ (\text{注：$\pm C_2$可表示任意非零常数，此时$C_3 \neq 0$)} \\ \end{aligned} $$

If $\tan y=0$, $y=n\pi$, where $n$ is any integer, is also a valid solution. Note that when $y=n\pi$, $\sin y=0=0\sqrt{1+x^2}$.

Therefore, the general solution to the differential equation is $\sin y=C\sqrt{1+x^2}$ for all $C$.

去绝对值符号以及$g(y)=0$的情形是需要谨慎讨论的，但一般不是考察重点. 在CIE教材中，有一个关于讨论$g(y)=0$的更复杂且有趣的例子.

Example.

Find a general solution to the differential equation $\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{(x^2+1)y^3}{x^2}$.

Solution.

If $y^3 \neq 0$:

$$ \int \frac{1}{y^3}\text{d}y=\int -\frac{x^2+1}{x^2}\text{d}x. $$ Then we have:

$$ -\frac{1}{2y^2}=-x+\frac{1}{x}+C. $$

If $y^3=0$, $y=0$ is also a valid solution.

Therefore, the general solution to the differential equation is $\displaystyle -\frac{1}{2y^2}=-x+\frac{1}{x}+C$ or $y=0$.

总结

利用分离变量法解一阶微分方程在A Level考试中是一定会考察的知识点. 考生应优先掌握分离变量法的基本步骤，对于学有余力的考生，可以尝试进一步理解分离变量法的细节.