Be With You
主要适用对象
Edexcel P4考生
AQA P2考生
CIE P3考生
部分分式
部分分式是将有理函数（Rational Function）分解成许多次数较低的有理函数和的形式，如：
$$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.$$
现以例题来复习部分分式的两种方法.
Example.
Given that $\displaystyle \frac{6x^2+5x-2}{x(x-1)(2x+1)} \equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{2x+1}$, find the values of the constants $A$, $B$ and $C$.
方法一：比较系数法（Equating Coefficients）
Solution.
Let
$$\begin{aligned}
\frac{6x^2+5x-2}{x(x-1)(2x+1)} &\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{2x+1}
\\&\equiv \frac{A(x-1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x-1)}{x(x-1)(2x+1)}
\end{aligned}$$
So
$$\begin{aligned}
6x^2+5x-2&=A(x-1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x-1)
\\&=A(2x^2-x-1)+2Bx^2+Bx+Cx^2-Cx
\\&=(2A+2B+C)x^2+(-A+B-C)x-A
\end{aligned}$$
Then we have
$$\begin{cases}
2A+2B+C=6 \\
-A+B-C=5 \\
-A=-2
\end{cases}$$
Solving the simultaneous equations gives $A=2$, $B=3$ and $C=-4$.比较系数法思路清晰易懂，但计算量偏大且容易出错，我们一般不建议考生使用该方法计算.
方法二：代入特值法（Substitution）
Solution.
Let
$$\begin{aligned}
\frac{6x^2+5x-2}{x(x-1)(2x+1)} &\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{2x+1}
\\&\equiv \frac{A(x-1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x-1)}{x(x-1)(2x+1)}
\end{aligned}$$
So
$$6x^2+5x-2=A(x-1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x-1)$$
Let $x=1$:
$$6+5-2=0+3B+0 \Rightarrow B=3$$
Let $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$:
$$\frac{6}{4}-\frac{5}{2}-2=0+0+\frac{3}{4}C \Rightarrow C=-4$$
Let $x=0$:
$$0+0-2=-A+0+0 \Rightarrow A=2$$
So, $A=2$, $B=3$ and $C=-4$.代入特值法计算量相对较小，我们一般建议考生使用该方法计算.
特殊情况的处理方式
部分分式分解有几种需要注意的特殊情况，需要特殊处理：
假分式（Improper Fraction）需要转为带分式（Mixed Fraction）后对真分式（Proper Fraction）进行部分分式分解.
分母中含有重因式（Repeated Factor）需要将重因式拆成两项和，如：
$$ \frac{2x+8}{(x+5)^2(x-1)} \equiv \frac{A}{x+5}+\frac{B}{(x+5)^2}+\frac{C}{x-1} $$
拓展：代入特值法的原理
在教学或学习过程中，我们遇到最多的问题就是：为什么可以代入特殊的值？代入某个值分母为$0$了，为什么可以成立？我们将在这一部分回答这个问题.
我们还是沿用上例，在计算过程中，我们得到了
$$\begin{aligned}
\frac{6x^2+5x-2}{x(x-1)(2x+1)} &\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{2x+1}
\\&\equiv \frac{A(x-1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x-1)}{x(x-1)(2x+1)}
\end{aligned}$$
因此，$6x^2+5x-2 \equiv A(x-1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x-1)$. 恒等于的意思是等式两边的表达式无论其变量（$x$）如何取值，等式两边永远成立. 所以，我们可以代入任意的值去计算$A$、$B$和$C$.
有同学提出，在这个计算中，分母不能为$0$，所以$x$不能取$0$、$1$和$\displaystyle -\frac{1}{2}$.
事实上，我们在应用代入特值法的逻辑是：
$$\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ 6x^2+5x-2 \equiv A(x-1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x-1)\ \text{for all } x
\\&\Rightarrow 6x^2+5x-2 \equiv A(x-1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x-1)\ \text{for } x \neq 0, 1, -\frac{1}{2}
\end{aligned}$$
举个简单的例子，如果我们证明了$f(x) \geq 2$ for all $x$，就一定可以推出$f(x) \geq 2$ for all $x \geq 5$.
用集合的语言来描述，如果$A \subseteq B$，且命题$p$对于$x \in B$均成立，则命题$p$对于$x \in A$均成立.
总结
部分分式的计算在A Level考试中是一定会考察的知识点. 考生应掌握两种计算方法及特殊情况的处理方式. 我们建议考生优先使用代入特值法进行计算.
