碰撞模型：Newton’s Law of Restitution

主要适用对象

Edexcel M2考生

AQA FM1考生

CIE FM考生

知识点介绍

1. Conservation of Linear Momentum:

   $$ m_1\mathbf{u}_1+m_2\mathbf{u}_2=m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2. $$

2. Impulse-Momentum Principle:

   $$ \mathbf{I}=\mathbf{F}t=m\mathbf{v}-m\mathbf{u}. $$

注意，以上两个物理公式要满足矢量关系，规定好正方向，同向为正，反向为负.

3. Newton‘s Law of Restitution (Impact Law):
   $$ e=\frac{\text{Separation speed}}{\text{Approach speed}}\ \ 0 \leq e \leq 1. $$

其中，$e=0$为非弹性碰撞（Inelastic Collision），即碰撞后相对速度为$0$；$e=1$为弹性碰撞（Elastic Collision），即碰撞前后动能相等. 常数$e$可以理解为碰撞后的相对速度与碰撞前的相对速度的比值.

相对速度：同向运动，速度大小相减；反向运动，速度大小相加.

建立碰撞模型

部分题型没有给出碰撞前后的示意图，在题干中也没有明确表示碰撞前或碰撞后物体的运动方向，需要自己建立一个合理的模型.

建立模型的重点是标注好碰撞前后各物体其中一种可能的运动方向，然后按照自己设定的模型，首先规定好正方向，列出动量守恒和impact law两个物理方程，联解方程即可得出相关物理量. 不用纠结是否有其他情况，严格按照矢量原则列式，算出来的结果的正负就代表了准确方向. 以下用爱德思（Edexcel）真题举例说明.

Example.

A particle $P$ of mass $2m$ is moving in a straight line with speed $u$ on a smooth horizontal plane. The particle $P$ collides directly with a particle $Q$, of mass $m$, which is moving on the plane along the same straight line as $P$ but in the opposite direction to $P$. Immediately before the collision the speed of $Q$ is $3u$. The coefficient of restitution between $P$ and $Q$ is $e$, where $\displaystyle e>\frac{1}{8}$.

Find, in terms of $u$ and $e$,
(i) the speed of $P$ immediately after the collision,
(ii) the speed of $Q$ immediately after the coolision.

Solution.

根据题意，已知碰撞前两小球运动方向，没有描述碰撞后的结果，所以会有三种可能情况：

现通过前两种情况分析理解.

Case (1):
Conservation of Linear Momentum:

$$ (\rightarrow): 2mu+m(-3u)=2m(-v_P)+mv_Q. $$

Impact Law:

$$ e=\frac{v_P+v_Q}{3u+u}. $$

Solving simultaneous equations, we have:

$$ v_P=\frac{u(1+4e)}{3}\ \text{and}\ v_Q=\frac{u(8e-1)}{3}. $$

Case (2):
Conservation of Linear Momentum:

$$ (\rightarrow): 2mu+m(-3u)=2m(v_P)+mv_Q. $$

Impact Law:

$$ e=\frac{v_Q-v_P}{3u+u}. $$

Solving simultaneous equations, we have:

$$ v_P=\textcolor{red}{-}\frac{u(1+4e)}{3}\ \text{and}\ v_Q=\frac{u(8e-1)}{3}. $$

第一种情况是碰撞后的真实情况，所以得到速度都是正数. 第二种情况中$v_P<0$，说明与假设的方向相反. 而且可以预见，第三种情况算出来$v_P>0$但$v_Q<0$. 但无论是哪一种情况，计算出来的关于$P$和$Q$的速率（Speed）的表达式都是一致的.

总结

碰撞模型建立是A Level考试中碰撞题型中的基础考法，对矢量表达要求较高，需要理解restitution计算式中的相对速度.