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主要适用对象
Edexcel FP1、FP3考生
AQA FPSM1、FP2考生
CIE FP1、FP2考生
$2 \times 2$矩阵的逆矩阵计算
在爱德思（Edexcel）FP1、AQA FPSM1和CIE FP1考试中，$2 \times 2$矩阵的逆矩阵的计算公式是必须要掌握的.
Note.
If $\displaystyle A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}$, then $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{pmatrix}$, where $\det(A)=ad-bc$.
这个计算公式可以直接利用逆矩阵的定义$AA^{-1}=A^{-1}A=I$证明.
$3 \times 3$矩阵的逆矩阵计算
方法一：Cofactor Matrix
在Edexcel FP3和AQA FP2教材中，$3 \times 3$矩阵的逆矩阵计算利用了cofactor matrix. 假设$A$是一个$3 \times 3$矩阵，求$A^{-1}$的具体步骤如下：
Note.
Step 1. Find $\det(A)$.
Step 2. Find the matrix of the minors of $A$, denoted as $M$. Minor of an element of a matrix is the determinant of the matrix formed by deleting the row and column containing that element.
Step 3. From the matrix of minors, form the matrix of cofactors (denoted as $C$) by changing the signs of some elements of the matrix of minors according to the rule of alternating signs illustrated by the pattern: $$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}.$$ Leave the elements of the matrix of minors corresponding to the $+$ signs in this pattern unchanged. Change the signs of the elements corresponding to the $-$ signs.
Step 4. Find $C^\top$.
Step 5. $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}C^\top$.
Step 2. Find the matrix of the minors of $A$, denoted as $M$. Minor of an element of a matrix is the determinant of the matrix formed by deleting the row and column containing that element.
Step 3. From the matrix of minors, form the matrix of cofactors (denoted as $C$) by changing the signs of some elements of the matrix of minors according to the rule of alternating signs illustrated by the pattern: $$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}.$$ Leave the elements of the matrix of minors corresponding to the $+$ signs in this pattern unchanged. Change the signs of the elements corresponding to the $-$ signs.
Step 4. Find $C^\top$.
Step 5. $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}C^\top$.
我们以一道例题进一步解释易错步骤.
Example.
Find the inverse matrix of
$$A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
5 & 0 & 8
\end{pmatrix}.$$
Solution.
Step 1.
$$
\det(A)=2\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
0 & 8
\end{vmatrix}+5\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{vmatrix}=27.
$$
Step 2. 以矩阵中第二行第二列的元素$2$为例，删除了$2$所在行和所在列后，我们得到矩阵
$$\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
5 & 8
\end{pmatrix}.$$ 它所对应的minor为$$\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
5 & 8
\end{vmatrix}=11.$$ 同理，可以找到matrix of the minors of $A$:
$$M=\begin{pmatrix}
16 & -5 & -10 \\
8 & 11 & -5 \\
-1 & 2 & 4
\end{pmatrix}.$$
Step 3. 根据rule of alternating signs，元素位置位于$+$的不变，元素位置位于$-$的取其相反数构成cofactor matrix:
$$C=\begin{pmatrix}
16 & 5 & -10 \\
-8 & 11 & 5 \\
-1 & -2 & 4
\end{pmatrix}.$$
Step 4.
$$C^\top=\begin{pmatrix}
16 & -8 & -1 \\
5 & 11 & -2 \\
-10 & 5 & 4
\end{pmatrix}.$$
Step 5.
$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}C^\top=\frac{1}{27}\begin{pmatrix}
16 & -8 & -1 \\
5 & 11 & -2 \\
-10 & 5 & 4
\end{pmatrix}.$$
拓展：Cofactor Matrix的原理
这一原理的证明需要用到更多的定义与定理，为了增强可读性，我们不妨暂时接受一些定理，并只基于$3 \times 3$矩阵分析这一原理.
假设矩阵 $$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.$$ 我们需要计算出每一个元素对应的minor，记为$M_{ij}$，并构成matrix of the minors of $A$. 第三步，我们需要写出matrix of cofactors. 根据规则，cofactor matrix的每一个元素正好等于$$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$$ 元素位置位于$+$的行数加列数为偶数，$(-1)^\text{even}=1$，根据规则，该元素不变；元素位置位于$-$的行数加列数为奇数，$(-1)^\text{odd}=-1$，根据规则，取相反数.
当我们定义好这些符号后，不妨检验一下，沿着第一行展开计算$\det(A)$可以写为 $$ \det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}. $$ 当然，我们还介绍过，计算$\det(A)$可以沿着任意一行（第$i$行）或任意一列（第$j$列）展开，归纳为定理： $$\sum_{j=1}^3 a_{ij}C_{kj}=\begin{cases} \det(A), & k=i \\ 0, & k \neq i \end{cases} \ \ \textrm{以及}\ \ \sum_{i=1}^3 a_{ij}C_{il}=\begin{cases} \det(A), & l=j \\ 0, & l \neq j \end{cases}.$$ 回到方法，第三步无非就是构造了一个矩阵 $$C=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix}.$$ 而第四步则是 $$C^\top=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix}.$$ 因为 $$ AC^\top=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & \det(A) & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix}=\det(A)I $$且 $$ C^\top A=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & \det(A) & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix}=\det(A)I $$我们有 $$ A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}C^\top $$如第五步所示.
假设矩阵 $$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.$$ 我们需要计算出每一个元素对应的minor，记为$M_{ij}$，并构成matrix of the minors of $A$. 第三步，我们需要写出matrix of cofactors. 根据规则，cofactor matrix的每一个元素正好等于$$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$$ 元素位置位于$+$的行数加列数为偶数，$(-1)^\text{even}=1$，根据规则，该元素不变；元素位置位于$-$的行数加列数为奇数，$(-1)^\text{odd}=-1$，根据规则，取相反数.
当我们定义好这些符号后，不妨检验一下，沿着第一行展开计算$\det(A)$可以写为 $$ \det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}. $$ 当然，我们还介绍过，计算$\det(A)$可以沿着任意一行（第$i$行）或任意一列（第$j$列）展开，归纳为定理： $$\sum_{j=1}^3 a_{ij}C_{kj}=\begin{cases} \det(A), & k=i \\ 0, & k \neq i \end{cases} \ \ \textrm{以及}\ \ \sum_{i=1}^3 a_{ij}C_{il}=\begin{cases} \det(A), & l=j \\ 0, & l \neq j \end{cases}.$$ 回到方法，第三步无非就是构造了一个矩阵 $$C=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix}.$$ 而第四步则是 $$C^\top=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix}.$$ 因为 $$ AC^\top=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & \det(A) & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix}=\det(A)I $$且 $$ C^\top A=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & \det(A) & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix}=\det(A)I $$我们有 $$ A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}C^\top $$如第五步所示.
方法二：Row Operation
在CIE FP1教材中，$3 \times 3$矩阵的逆矩阵计算利用了row operation. 假设$A$是一个$3 \times 3$矩阵，求$A^{-1}$的步骤如下：
Note.
Suppose
$$A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}.$$
From the rule of row operation (row switching, row multiplication and row addition), change the augmented matrix
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \mid & 1 & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \mid & 0 & 1 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \mid & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$ to
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \mid & n_{11} & n_{12} & n_{13} \\
0 & 1 & 0 & \mid & n_{21} & n_{22} & n_{23} \\
0 & 0 & 1 & \mid & n_{31} & n_{32} & n_{33}
\end{pmatrix}.$$
Then,
$$
A^{-1}=\begin{pmatrix}
n_{11} & n_{12} & n_{13} \\
n_{21} & n_{22} & n_{23} \\
n_{31} & n_{32} & n_{33}
\end{pmatrix}.
$$
使用row operation时，一个计算技巧就是先让矩阵$A$变为阶梯形矩阵（Row Echelon Form），即矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零. 我们以相同的例题来介绍这一方法.
Example.
Find the inverse matrix of
$$A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
5 & 0 & 8
\end{pmatrix}.$$
Solution.
The augmented matrix is
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & \mid & 0 & 1 & 0 \\
5 & 0 & 8 & \mid & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
(1) $\displaystyle r_3 \to r_3-\frac{5}{2}r_1$:
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & \mid & 0 & 1 & 0 \\
0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{2} & \mid & -\frac{5}{2} & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
(2) $\displaystyle r_3 \to r_3+\frac{5}{4}r_2$:
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & \mid & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \frac{27}{4} & \mid & -\frac{5}{4} & \frac{5}{4} & 1
\end{pmatrix}
$$
(3) $\displaystyle r_1 \to r_1-\frac{1}{2}r_2$:
$$
\begin{pmatrix}
2 & 0 & \frac{1}{2} & \mid & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 2 & 1 & \mid & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \frac{27}{4} & \mid & -\frac{5}{2} & \frac{5}{4} & 1
\end{pmatrix}
$$
(4) $\displaystyle r_1 \to r_1-\frac{2}{27}r_3$:
$$
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & \mid & \frac{32}{27} & -\frac{16}{27} & -\frac{2}{27} \\
0 & 2 & 1 & \mid & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \frac{27}{4} & \mid & -\frac{5}{2} & \frac{5}{4} & 1
\end{pmatrix}
$$
(5) $\displaystyle r_2 \to r_2-\frac{4}{27}r_3$:
$$
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & \mid & \frac{32}{27} & -\frac{16}{27} & -\frac{2}{27} \\
0 & 2 & 0 & \mid & \frac{10}{27} & \frac{22}{27} & -\frac{4}{27} \\
0 & 0 & \frac{27}{4} & \mid & -\frac{5}{2} & \frac{5}{4} & 1
\end{pmatrix}
$$
(6) $\displaystyle r_1 \to \frac{1}{2}r_1$, $\displaystyle r_2 \to \frac{1}{2}r_2$, $\displaystyle r_3 \to \frac{4}{27}r_3$:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \mid & \frac{16}{27} & -\frac{8}{27} & -\frac{1}{27} \\
0 & 1 & 0 & \mid & \frac{5}{27} & \frac{11}{27} & -\frac{2}{27} \\
0 & 0 & 1 & \mid & -\frac{10}{27} & \frac{5}{27} & \frac{4}{27}
\end{pmatrix}
$$
So
$$
A^{-1}=\begin{pmatrix}
\frac{16}{27} & -\frac{8}{27} & -\frac{1}{27} \\
\frac{5}{27} & \frac{11}{27} & -\frac{2}{27} \\
-\frac{10}{27} & \frac{5}{27} & \frac{4}{27}
\end{pmatrix}=\frac{1}{27}\begin{pmatrix}
16 & -8 & -1 \\
5 & 11 & -2 \\
-10 & 5 & 4
\end{pmatrix}.
$$
这一方法的运算量较大，需要仔细计算. 对于CIE FP1考生，我们也建议尽量掌握利用cofactor matrix的方法.
拓展：Row Operation的原理
与解释方法一类似，为了增强可读性，我们不妨暂时接受一些定义或定理.
任何一个初等行变化（Row Operation，更严谨的说法为Elementary Row Operation）都可以用一个初等矩阵$P$来表示，比如对矩阵$A$进行初等行变化后得到的一个新矩阵$A_1$，总是可以写成$A_1=PA$. 定理称，如果矩阵$A$是可逆的（即$A^{-1}$是存在的），那么它可以表示成一系列初等矩阵的乘积，也即$$P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1A=I.$$ 因此$$P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1AA^{-1}=IA^{-1} \Rightarrow P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1I=A^{-1}.$$ 因此增广矩阵（Augmented Matrix）$(A \mid I)$在经历一系列初等行变化后，本质上就变成了$$(P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1A \mid P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1I) \to (I \mid A^{-1}).$$
任何一个初等行变化（Row Operation，更严谨的说法为Elementary Row Operation）都可以用一个初等矩阵$P$来表示，比如对矩阵$A$进行初等行变化后得到的一个新矩阵$A_1$，总是可以写成$A_1=PA$. 定理称，如果矩阵$A$是可逆的（即$A^{-1}$是存在的），那么它可以表示成一系列初等矩阵的乘积，也即$$P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1A=I.$$ 因此$$P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1AA^{-1}=IA^{-1} \Rightarrow P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1I=A^{-1}.$$ 因此增广矩阵（Augmented Matrix）$(A \mid I)$在经历一系列初等行变化后，本质上就变成了$$(P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1A \mid P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1I) \to (I \mid A^{-1}).$$
方法三：Cayley-Hamilton Theorem
在CIE FP2教材中，$3 \times 3$矩阵的逆矩阵计算可以直接使用Cayley-Hamilton定理. 对于CIE FP2考生，几乎没有其它选择去计算逆矩阵，因为题目一般要求use the characteristic equation of $A$ to find $A^{-1}$. 定理内容为：
Note.
If matrix $A$ has characteristic equation $P_A(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+a_{n-2}\lambda^{n-2}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0$, then $$P_A(A)=A^n+a_{n-1}A^{n-1}+a_{n-2}A^{n-2}+\cdots+a_1A+a_0I=O$$ where $O$ is zero matrix.
下面我们来介绍一下，根据Cayley-Hamilton定理计算一个$3 \times 3$矩阵的逆矩阵. 假设该$3 \times 3$矩阵的特征方程（Characteristic Equation）为$$a\lambda^3+b\lambda^2+c\lambda+d=0$$ 根据Cayley-Hamilton定理可得$$aA^3+bA^2+cA+dI=O.$$ 移项后，$$-dI=aA^3+bA^2+cA=A(aA^2+bA+cI).$$ 等式两边同时左乘$\displaystyle -\frac{1}{d}A^{-1}$后得到$$A^{-1}=\frac{aA^2+bA+cI}{-d}.$$ 我们以相同的例题来介绍这一方法.
Example.
Find the inverse matrix of
$$A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
5 & 0 & 8
\end{pmatrix}.$$
Solution.
The characteristic equation of $A$ is $$-\lambda^3+12\lambda^2-31\lambda+27=0.$$ By Cayley-Hamilton theorem
$$\begin{aligned}
A^{-1}& =\frac{-A^2+12A-31I}{-27} \\
&=\frac{1}{27}\left(\begin{pmatrix}
9 & 4 & 11 \\
5 & 4 & 10 \\
50 & 5 & 69
\end{pmatrix}-12\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
5 & 0 & 8
\end{pmatrix}+31\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\right)
\\&=\frac{1}{27}\begin{pmatrix}
16 & -8 & -1 \\
5 & 11 & -2 \\
-10 & 5 & 4
\end{pmatrix}.
\end{aligned}$$
拓展：Cayley-HamiltonRow Theorem的原理
Cayley-Hamilton定理的一个简易证明是利用矩阵分解，但也已经超出了我们的学习范畴. 为了增强可读性，我们仅在$2 \times 2$矩阵中证明这一定理.
假设矩阵 $$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.$$ 其特征方程为$$P_A(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0.$$ 因此， $$ \begin{aligned} P_A(A)&=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I \\ &=\begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} (a+d)a & (a+d)b \\ (a+d)c & (a+d)d \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &=O. \end{aligned} $$
假设矩阵 $$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.$$ 其特征方程为$$P_A(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0.$$ 因此， $$ \begin{aligned} P_A(A)&=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I \\ &=\begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} (a+d)a & (a+d)b \\ (a+d)c & (a+d)d \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &=O. \end{aligned} $$
总结
逆矩阵的计算在A Level考试中是一定会考察的知识点. 考生应该掌握$2 \times 2$矩阵的逆矩阵计算公式.
对于Edexcel FP3、AQA FP2考生，我们推荐使用cofactor matrix计算$3 \times 3$矩阵的逆矩阵，这就要求考生对每一个步骤都非常熟悉. 对于CIE FP1考生，row operation方法计算量偏大，也可以考虑掌握cofactor matrix方法计算$3 \times 3$矩阵的逆矩阵.
对于CIE FP2考生，Cayley-Hamilton theorem是必须掌握的方法，需要考生对定理描述以及推导过程非常熟悉.
