三维空间中特征向量（Eigenvector）的第二种计算方法

主要适用对象

Edexcel FP3考生

AQA FP2考生

CIE FP2考生

特征向量的计算

标准计算特征向量的方法是先利用$\det(A-\lambda I)=0$计算特征值（Eigenvalue），再利用$A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$解出特征向量$\mathbf{x}$.

现以爱德思（Edexcel）教材的例题来复习特征向量的计算.

Example.

Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrix

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & -3 \end{pmatrix}.$$

Solution.

Let

$$\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & -3 \\ 0 & 2-\lambda & 1 \\ 0 & -4 & -3-\lambda \end{vmatrix} \\&=(\lambda+2)(\lambda-1)(2-\lambda) \\&=0.\end{aligned}$$

Then $\lambda=-2, 1, 2$.

To find an eigenvector of $A$ corresponding to the eigenvalue $-2$:

$$\begin{aligned} &\ \ \ \ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\&\Rightarrow \begin{pmatrix} 2x+y-3z \\ 2y+z \\ -4y-3z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2x \\ -2y \\ -2z \end{pmatrix} \end{aligned}$$

and so

$$\left\{\begin{align} 2x+y-3z&=-2x & \\ 2y+z&=-2y & \\ -4y-3z&=-2z & \end{align}\right..$$

From $(2)$ and $(3)$: $z=-4y$. Let $y=1$, then $z=-4$. Substituting $y$ and $z$ to $(1)$, we have $\displaystyle x=-3.25$.

An eigenvector corresponding to $-2$ is

$$\begin{pmatrix} -3.25 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}\ \text{or}\ \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 16 \end{pmatrix}.$$

Similarly, an eigenvector corresponding to $1$ is

$$\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

and eigenvector corresponding to $2$ is

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

三维空间中特征向量的第二种计算方法

在三维空间中，叉乘（Cross Product）也可以用于特征向量的计算. 这一方法要求先写出矩阵$A-\lambda I$，在矩阵中找到任意两行，且不成倍数关系（数学上我们称之为线性无关或线性独立，Linear Independent），计算对应行向量的叉乘结果即为特征向量. 以上题为例.

Solution.

Let

$$\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & -3 \\ 0 & 2-\lambda & 1 \\ 0 & -4 & -3-\lambda \end{vmatrix} \\&=(\lambda+2)(\lambda-1)(2-\lambda) \\&=0.\end{aligned}$$

Then $\lambda=-2, 1, 2$.

To find an eigenvector of $A$ corresponding to the eigenvalue $-2$:

$$A-\lambda I=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & -4 & -1 \end{pmatrix}.$$

An eigenvector corresponding to $-2$ is

$$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 1 & -3 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix}=13\mathbf{i}-4\mathbf{j}+16\mathbf{k}=\begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 16 \end{pmatrix}.$$

Exercise.

尝试利用三维空间中特征向量的第二种方法计算剩余的特征向量.

叉乘背后的原理

我们知道在三维空间中，叉乘用于计算两个向量的共垂向量. 而叉乘用于计算三维空间的特征向量时，很难看出这一性质. 回到第一种方法，在计算特征向量时我们利用：

$$ A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x} $$

经过变换后我们得到：

$$ A\mathbf{x}-\lambda I\mathbf{x}=\mathbf{0}. $$

这里为了不涉及过多的数学推导，我们依然用例题来介绍. 上述例子中，我们可以将

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

转化为

$$ \begin{pmatrix} 4 & 1 & -3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & -4 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

从而得到

$$\left\{\begin{align*} 4x+y-3z&=0 & (\ast) \\ 4y+z&=0 & (\dagger) \\ -4y-z&=0 & (\ddagger) \end{align*}\right..$$

观察$(\ast)$和$(\dagger)$式，我们发现

$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{x}=0 $$

以及

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{x}=0. $$

如果两个向量点乘（Scalar Product）为零，则两个向量是垂直的.

从$(\ast)$和$(\dagger)$式，我们很快就能得出$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$和$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$同时垂直于特征向量$\mathbf{x}$. 因此

$$ \mathbf{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 16 \end{pmatrix}. $$

总结

特征向量的计算在A Level考试中是一定会考察的知识点. 考生应优先掌握利用$A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$计算特征向量的方法. 对于学有余力的考生，可以尝试掌握利用叉乘计算三维空间中特征向量的方法.